Menu
RSS


Уравнение свободных крутильных колебаний, параметры

Рассмотрим случай, когда упругий вал с массой в виде диска на одном конце, а второй конец закреплен неподвижно, возможен на практике. При этом в двухмассовой системе валопровода момент инерции одной массы в несколько раз больше момента инерции другой массы.

Уравнение свободных крутильных колебаний рассматриваемой системы можно вывести при следующих допущениях: масса и момент инерции вала незначительны по сравнению с массой и моментом инерции сосредоточенной массы; деформации кручения вала не выходят за пределы применимости закона пропорциональности; сопротивления колебаниям отсутствуют.
Применяя принцип д'Аламбера, составим условие равновесия системы при повороте массы на какой-либо угол φ, учитывая, что момент сил упругости вала всегда направлен в сторону, противоположную повороту массы:
Mин + Mуп = 0,
где Mин - момент сил инерции массы; Mуп - момент сил упругости вала.
Как известно,
Mин = Iφ'' 
где I - момент инерции массы; φ'' - угловое ускорение массы, напрвленное всегда в сторону нейтрального положения.
Момент Mуп по формуле для угла закручивания вала, вытекающего из закона Гука, φ = Mупl/(GIp), откуда
Mуп = GIpφ/l
где l - длина вала; G - модуль упругости при сдвиге материального вала; Ip - полярный момент инерции сечения вала.
Предыдущее уравнение можно представить в виде
Mуп = cφ
Крутильная жесткость вала c = GIp/l, а обратное выражение l/(GIp) называют податливостью участка вала, характеризующей его упругие свойства.
Из первого уравнения, учитывая остальные, можно получить дифференциальное уравнение свободных крутильных колебаний одномассовой системы при отсутствии сопротивлений:
φ'' + ωc2φ = 0
Величина ωc называется круговой частотой свободных крутильных колебаний. Решение последнего уравнения показывает, что масса совершает движение по закону синуса (или косинуса). Такое движение носит название простого гармонического колебания
Частота свободных крутильных колебаний системы зависит только от жесткости вала и момента инерции массы, т.е. не зависит от угла предварительного закручивания вала φ0. Следовательно, при предварительном закручивании вала на разные углы амплитуды крутильных колебаний будут различными, тогда как период Т и частота колебаний останутся такими же (см. рис.)

Login to post comments
back to top
  • Facebook
  • Twitter
  • Google+
  • VK
  • RSS